Demostrando que el volumen de una esfera es V =4/3 πr³

EL VOLUMEN DE

                UNA ESFERA 

¿Nunca te has preguntado por qué las fórmulas son como son? ¿Por qué π es 3.14159...? ¿Por qué el Teorema de Pitágoras es a2 + b2 = c2?😲

Pues hoy te explicaré el por qué de una de las miles de fórmulas matemáticas que existen, hechas por los mayores científicos de todos los tiempos: el volumen de una esfera.👀

Empezaré por contarte un poquito de historia. Arquímedes, un físico, ingeniero, inventor, astrónomo y matemático griego, tuvo una idea genial, que hoy le llamamos "La mejor idea de Arquímedes": El cálculo del volumen de una esfera. Fue uno de los descubrimientos que este matemático más estimaba.

Es una chulada este descubrimiento, es por eso que quise compartirla con ustedes. 😁

Y como siempre comento, no te preocupes si no sabes nada de matemáticas, recuerda que este blog te enseña a hacer las cosas desde cero.

PROBLEMA DE VOLUMEN DE UNA ESFERA

Demuestra que el volumen de una esfera es V = 4/3 πr³ 

Para que podamos entender la solución de este problema, es necesario que visualices esto:👀

                                                                    y

x

Hay que pensar que esta figura que está en el plano cartesiano es una esfera, no un círculo. Imagina que tiene un volumen.

Es importante que recuerdes esta fórmula:😃  

Lo único que vas a hacer es  sustituir la letra f de función por una a de área, y todo lo veremos como la fórmula para sacar el volumen de dicha esfera.

 

                                 

Para explicártelo un poquito mejor, el volumen es igual a la integral desde a hasta b, del área de una sección transversal en función de x (con el diferencial dx)

Te preguntarás ¿Y qué rayos es el área de la sección transversal?😰 No es otra cosa más que lo siguiente.

Si te das cuenta acabo de hacer un corte de esta esfera. A este corte le vamos a sacar el área con la fórmula que te acabo de explicar, lo que vamos a hacer es dejar el área del corte en función de x, o sea f(x).

El siguiente paso es encontrar el área de la sección transversal en función de x (lo cortado).

Como es notorio en la imagen, la esfera tiene su centro en el origen. Si yo trazo una línea desde el origen hasta la parte más alta de la sección transversal...👆

Podemos decir que esta línea rosa es el radio r. Si toda esta es la esfera y ponemos un punto en el centro, entonces el radio va a ser lo que salga de este centro a cualquier punto que tenga el rededor de la esfera, o sea de su contorno.

Fíjate bien lo que vamos a hacer a continuación😆...

Si te das cuenta, lo que tenemos ahora es un triángulo rectángulo, la figura perfecta con la cual se puede trabajar.   De este triángulo que nos quedó, podemos afirmar que el radio siempre es constante. Sin embargo, x y y van a cambiar depende de donde yo haga el corte. Si lo hago más a un lado, x va a crecer; si lo hago más arriba, y va a crecer. Pero el radio siempre será la distancia del centro de la circunferencia a un punto de su contorno, así que r siempre nos dará lo mismo. Por lo tanto, x y y son variables.

Lo que nosotros necesitamos es el área en función de x, por lo tanto plantearemos el Teorema de Pitágoras y de ahí despejaremos:

- r es la hipotenusa

- x es un cateto

- y es un cateto

La fórmula nos queda:

x2 + y2 = r2

Ahora vamos a despejar la y2 (ahorita te explico por qué la y2)😉

y2 = r2 - x2

Para entender por qué despejamos la y2, es necesario volver a mirar la última imagen. Si vieras la parte cortada (lo naranja) de frente, lo verías como un círculo cortado, ¿verdad? y la línea rosa (y) está atravesando la mitad de ese círculo. Por lo tanto, y es el radio de este corte.😀

¿Recuerdas la fórmula para sacar el área de un círculo?

Si no la recuerdas no puedo creer que pasaste primaria.😕

Con esto podemos decir que...

A = πy2

Ya que y2 es nuestro radio.

Y como y2 es r2-x2 (por lo que salió del Teorema de Pitágoras) lo sustituímos.

A = π(r2-x2)  Esta formulita es la de todo el rollo, ya que es lo que vamos a meter en nuestra primera fórmula, la de la integral...

Algo más que tenemos que notar es lo siguiente:

Del lado izquierdo es -r, ya que hacia este lado son números negativos. Y del lado derecho r, porque son positivos.

Ya tenemos toda la información que necesitábamos!!!😁 Ahora si, a darle con la fórmula.

V = ∫ab​f(x)dx 

O sea...

V = ∫ab​A(x)dx 

Sustituímos A(x)...

V = ∫ab​π(r2-x2)dx 

Las letras minúsculas, a y b, se refieren a los límites (de donde a donde va la figura). Como ya habíamos mencionado, la distancia de la esfera es de -r a r, por lo tanto...

V = ∫-rr​π(r2-x2)dx 

Por si no lo sabías, cuando hay un signo en medio de una integral, se separa en dos integrales, así que nos queda como:☝

V = ∫

​πr2dx - ∫ πx2dx

Integramos:

V =

​πr2x - πx3/3 (de -r a r)

Sustituímos la x por r y le restamos la misma función pero sustituida por -r:

V =

​πr2(r) - π(r)3/3 - πr2(r) - (π(r)3/3))

Aplicamos poquita álgebra:

V =

​πr3 - πr3/3 + πr3 - πr3/3 = 2πr3 - 2πr3/3 

Factorizamos:

V =

​2πr3(1-1/3)

Por lo tanto...

Y listooooo!!!!👏👏 Ahora sabes por qué el volumen de una esfera es esto. 

¿Que hermosas las matemáticas no?😍

Muchas gracias por haberme visitado el día de hoy. Si te gustó este blog no olvides compartirlo con tu familia, amigos y enemigos para desarrollar su aprendizaje. 😃

Nos vemos el próximo jueves con más...

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